В России есть несколько видов судов: общая юрисдикция, арбитражные суды и третейские. Суды общей юрисдикции и арбитражные - это государственные суды.

Третейские суды это частная лавочка. Но такие суды аккредитовываются при арбитражных судах, их решения обязательны; если решение не исполнять - выдадут точно такой же исполнительный лист, как и в обычном процессе и т.п. Использовать третейский суд вместо арбитража можно только в том случае, если между сторонами прямо закреплен такой способ решения спора (т.н. третейская оговорка в договоре).
Т.е. если в контракте прямо написано, что спор рассматривается в третейском суде. Пойти просто так в такой суд – нельзя, для этого нужно специально договориться спорящим сторонам. В чем преимущество третейских судов?

1. Третейские суды более «закрыты». Никто не узнает, что там рассматривается какое-либо дело. Если дело рассматривается в обычном суде, то теоретически любой может посмотреть кто, какие и к кому имеет претензии. Вот прямо сейчас, зайдя в картотеку арбитражных дел, я узнал, что ПАО «Самараэнерго» хотело взыскать 20 000 рублей с некой ООО УК Центр-дом, но отказалось от иска... В судах общей юрисдикции большинство сведений «скрывают»: вместо Иванов Иван Иванович в решениях пишут «ФИО1». Хотя в списке участников дела всё равно фигурирует именно Иванов И.И., т.е. провести параллель вполне реально.

2. Третейские суды дешевле. Для любого обращения в суд требуется оплата пошлины (должен же суд на что-то существовать). По итогам рассмотрения дела - пошлина взыскивается с проигравшей стороны (т.е. не важно кто был инициатором, кому-то в итоге всё равно придется её заплатить). Размер пошлины зависит от суммы требований и может достигать 200 000 рублей. В среднем плата за использование третейского суда в 1,5-2 раза ниже.

Есть, конечно, и случаи, где третейский суд «не властен» и никакие оговорки не помогут. В частности, придется пойти в обычный государственный суд, если речь идёт о трудовых спорах; защите прав потребителей; если речь идёт о спорах с госорганами и прочими "кровопийцами" и т.п....